Problema aplicación integrales

Es fácil interpretarlo, precisamente te dicen que es el área encerrada entre dos funciones, eso es lo mismo que el área encerrada entre la diferencia de las dos funciones, es la integral de la función diferencia. En este caso será la integral de la función beneficio. Y los límites de integración son desde 0 y hasta que que es rentable. Ese hasta que es rentable tenemos que calcularlo, dejará de ser rentable cuando el gasto sea superior a los ingresos.

Beneficio del año x = 1000-2x^2 - x^2-568 = 432 - 3x^2

Veamos cuando se hace negativo, será inmediatamente después de ser cero (salvo el extraño caso que sea tangente al eje X en ese punto. Todo se estudiará)

432-3x^2 = 0

144 - x^2 = 0

x^2=144

x= +-12

El -12 no tiene sentido para este problema, luego es 12

Y se comprueba que después de 12 vale menos de cero luego en x=12 deja de ser rentable

Beneficio durante el periodo de rentabilidad = $ (432-3x^2)dx con x€[0, 12}] =

[432x - x^3] con x€[0.12] =

432·12 - 12^3 - 0 + 0 = 3456 €

Y eso es todo.