Ayuda en este ejercicio de ecuaciones
El carbono 14 es un elemento que decae exponencialmente con el tiempo. La cantidad de carbono se reduce 50 % después de 5,750 años. Determine cuanto carbono 14 queda de una masa de70 gramos después de 40,000 años.
a) 1.1272 b) 0.5636 gramos c) 7.8370 gramos d) 0.6846 gramos
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Este problema podría hacerse con la base exponencial 2 o incluso 1/2. Tiene ventajas sobre la base e que es la que se utiliza normalmente, pero como históricamente se ha hecho siempre con base e lo haré de esa forma.
La fórmula de la cantidad de carbono en el tiempo es
$$C(t)=C_oe^{-\lambda t}$$Y con los datos que nos dan calcularemos lambda. Sabiendo que en 5750 años la cantidad de carbono es 1/2 de Co
$$\begin{align}&\frac{C_0}{2}=C_0e^{-\lambda·5750}\\ &\\ &\frac 12 = e^{-5750\lambda}\\ &\\ &ln \frac 12=-5750 \lambda\\ &\\ &\lambda=-\frac{ln\,0.5}{5750}= -\frac{-0.6931471806}{5750}=\\ &\\ &0.00012054734\end{align}$$Y ahora que conocemos lambda usamos la fórmula
$$\begin{align}&C(40000) = 70e^{-0.00012054734\, ·\, 40000}=\\ &\\ &70e^{-4.82189343}=\\ &\\ &70· 0.008051527693 =\\ &\\ &0.5636069385g\end{align}$$Es la respuesta b)
Y eso es todo.
