Un problema de aritmética modular

La mayor dificultad que tenemos es que no podemos escribir las barritas de arriba, así que que usaremos los corchetes para expresar la mismo que la barra. Asi

[a] será la a con una barra arriba

[ab] será ab con una barra única arriba.

[a] serán a y b cada uno con su barra.

Además, el signo de congruencia lo escribiremos asi :=:

Ah, y el enunciado está mal. Tiene que decir:

Si a,n € Z, n>1 y (a,n) = 1

En el enunciado pone (a, m) = 1 y ese m luego no se usa para nada

Demostramos lo primero que existe b tal que ab # 1 (mod n)

Tomemos los números 0, 1, 2, ..., n-1 y formamos los productos

a·0, a·1, a·2, ..., a(n-1)

Y tomamos el resto de dividir por n cada producto.

Todos los restos son distintos, porque supongamos i distinto de j y sucede

a·i :=: a·j

ai -aj = kn

a(i-j) = kn

a(i-j)/n = k

Pero n no puede dividir a (i-j) porque -n < (i-j) < n luego

n divide a "a" ==> (a,n) = n

pero eso es absurdo porque (a,n) = 1 y n>1

Luego si son todos distintos, son n y su valor está entre 0 y n-1 hay algún resto que valdrá 1 por que los restos obtenidos y el conjunto {0, 1, ..., n-1} son biyectivos.

Luego existe b tal que ab :=: 1 (mod n)

Y ahora tomemos ese b.

Tenemos ab :=: 1 (mod n)

Eso significa por definición que ab pertenece a la clase del 1, que escrito de otra forma es

[ab] = 1

Y por definición de la operación producto de clases tenemos:

[a]· = [ab] = 1

Y eso es todo,

Espera, que tuve un fallo. Decía estas cuatro líneas:

a(i-j)/n = k
Pero n no puede dividir a (i-j) porque -n < (i-j) < n luego
n divide a "a" ==> (a,n) = n

Pero eso es absurdo porque (a, n) = 1 y n>1

Las dos últimas está mal, debe ser esto:

Algún factor primo de n al menos tiene que estar en a para que la división de un número entero. Pero si n y a tienen algún factor primo común ==> (a,n) distinto de 1. Y eso es absurdo porque la suposición era (a,n)=1

Todo lo demás es igual.