¿Cual es el valor de a de las siguientes congruencias ?
$$1234\equiv a(5)$$
$$2^{240}\equiv \ a(5)$$De las congruencias mencionadas
Hallar el valor de a positivo y mas pequeño posible tal que cumpla en cada caso su congruencia correspondiente
1 respuesta
a) El valor positivo mas pequeño congruente es el resto de dividir 1234 entre 5.
Se va a simple vista que el resto es 4
b) Veamos cuáles son las congruencias de las potencias de 2, asi encontraremos un número congruente con 2^240. Usaré el símbolo # como congruente.
el plan es calcular la congruencia de 240/2 = 120/2 = 60/2= 30/2 = 15
2^1 # 2 (mod 5)
2^2 # 4 (mod 5)
2^4 # 4·4 = 16 # 1 (mod 5)
Abandonamos el plan porque hemos encontrado algo mejor
Como
2^4 # 1 (mod 5)
tendremos
2^8 = 2^4 · 2^4 # 1·1 = 1 (mod 5)
y si multiplicamos otra vez
2^12 = 2^8 · 2^4 # 1·1 = 1 (mod 5)
Para cualquier exponente n múltiplo de 4 tendremos
2^n # 1 (mod 5)
como 240 es múltiplo de 4 tenemos
2^240 # 1 (mod 5)
Y eso es todo.
