¿Cómo puedo llegar a la siguiente igualdad mates?

Hay que escribir bien, lo que has escrito tiene tres interpretaciones distintas. La buena se escribe así:

cos^2(x) = [1+cos(2x)] / 2

Pues todo viene de las fórmulas trigonométricas de la suma de ángulos que supongo habrás dado y no es lugar aquí para demostrar.

La primera de ellas es esta:

cos(a+b) = cosa·cosb - sena·senb

Si esto lo aplicas cuando a=b tendrás

cos(a+a) = cosa·cosa - sena·sena

cos(2a) = cos^2(a) - sen^2(a)

Sumo 1 en ambos lados

1+cos(2a) = 1+ cos^2(a) - sen^2(a)

Y en el lado dereccho sustituyo 1-sen^2(a) = cos^(a)

1+cos(2a) = cos^2(a)+cos^2(a)

1+cos(2a) = 2cos^2(a)

[1+cos(2a)] / 2 = cos^2(a)

Que dándole la vuelta es lo que proponías

Y eso es todo.