Ayuda con fracciones parciales...

Las fracciones parciales sirven para descomponer un cociente de polinomios en suma de fracciones más simples.

Se debe factorizar el denominador. Si los factores son del tipo (x-r) añadimos una fracción simple del tipo A/(x-r). Si son de tipo (x-r)^n añadimos n fracciones que serán:

A1 / (x-r) + A2 / (x-r)^2 + A3(x-r)^3 + An(x-r)^n

Luego en este caso la descomposición es

$$\begin{align}&\frac{1}{s(s+10)^2}=\frac {A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{(s+10)^2}=\\ &\\ &\text{Haciendo la suma de fracciones de la derecha}\\ &\\ &=\frac{A(s+10)^2+Bs(s+10)+Cs}{s(s+10)^2}\end{align}$$

La expresión inicial debe ser igual a la final. Como el denominador es el mismo también deben serlo los numeradores.

Ahora se opera el numerador y se hace una igualdad polinomial entre numeradores que proporciona 3 ecuaciones y se resuelven

As^2 + 20As + 100A + Bs^2 + 10Bs + Cs = 1

(A+B)s^2 + (20A+10B+C)s + 100A = 1

En el lado derecho no hay términos en s y s^2 luego esos términos de la parte izquierda deben ser cero

A+B=0

20A+10B+C = 0

100A = 1

luego

A = 1/100

B = -1/100

20/100 - 10/100 + C = 0

10/100 + C = 0

C = -10/100 = -1/10

Luego la descomposición es

$$\begin{align}&\frac{1}{s(s+10)^2}=\frac {A}{s}+\frac{B}{s+10}+\frac{C}{(s+10)^2}=\\ &\\ &\frac {1/100}{s}-\frac{1/100}{s+10}-\frac{1/10}{(s+10)^2}=\end{align}$$

Y esto era lo más difícil, el resto se deduce fácilmente. Lo que ha hecho es descomponer las dos primeras fracciones y la tercera la ha dejado igual.

Y eso es todo.