Un problema matemático
hola!
desearía el procedimiento del siguiente problema :
¿cuantos números de 4 cifras existen, tales que al ser divididos por 12;18 y 20 dejan como resto 4 en todos los casos, pero al ser divididos por 7, dejan como resto 2?
se agradece
saludos
1 respuesta
Juancito 136!
Son números n que deben cumplir
n = 12a+4
n = 18b+4
n = 20c+4
n = 7d+2
Igualando las tres primeras
12a + 4 = 18b + 4 = 20c + 4
12a = 18b = 20c
6a = 9b = 10c
El mínimo común múltiplo de 6,9 y 10 es
mcm(6,9,10) = 90
Luego a debe cumplir
6a = 90m
a = 15m para todo m € N
n = 12(15m) + 4 = 180m+4
Y ahora igualamos este valor de n con la cuarta
180m + 4 = 7d + 2
180m - 7d = -2
7d - 180m = 2
No sé si habrás dado ecuaciones diofánticas, esto se resuelve con el algoritmo extendido de Euclides.
180 = 25·7 + 5 ==> 5 = 180 - 25·7
7 = 5 +2 ==> 2 = 7 - 5
5 = 2·2 +1 ==> 1 = 5 - 2·2
Luego
1 = 5 - 2(7-5) = 3·5 - 2·7 = 3(180 - 25·7) - 2·7 = 3·180 - 77·7
Entonces
2 = 6·180 - 154·7
Hemos dado con una solución particular de la ecuación diofántica
d = -154
m= -6
y la solución general es
d = -154 + i[-180/mcd(7,-180)] = -154 + 180 i
m = -6 - i[7/mcd(7,-180)] = -6 + 7i
Luego el número a debe ser de la forma
a =15m = 15(-6+7i) = -90 +105i con i € Z
n = 12a+4 = 12(-90+105i) + 4 = -1080+ 1260i +4 = -1076 + 1260i
El primer número de cuatro cifras será
-1076 + 1260i >= 1000
1260i >= 2076
i >= 2076 / 1260 = 1.647...
como i debe ser entero
i>=2
I el último
-1076 + 1260i <= 9999
1260i <= 11075
i <= 11075 / 1260 = 8.789...
Como debe ser entero
i <=8
Luego las soluciones de cuatro cifras se obtienen con i=2,3,4,5,6,7,8
La cantidad es 7
La verdad es que si no has dado teoría de números es algo complicado resolverlo. Como pequeña comprobación puedes ver que los números obtenidos cumplen las condiciones
Para i=2 ==> n = -1076 + 2·1260 = 1444
Y los siguientes se obtienen añadiendo 1260, la lista completa es
1444, 2704, 3964, 5224, 6484, 7744, 9004
Tomemos uno de ellos por ejemplo 5224
5224 / 12 = 435.333 ==> 5224 - 12·435 = 4
5224 / 18 = 290.222 ==> 5224 - 18·290 = 4
5224 / 20 = 261.2 ==> 5224 - 20·261 = 4
5224 / 7 = 746.285..==> 5224 - 7·746 = 2
El que no hay otros se puede comproibar con este pequeño programa en Lazarus
program Project1;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var
i: integer;
begin
for i:=1000 to 9999 do
if (i mod 12 = 4) and (i mod 18=4) and (i mod 20=4) and (i mod 7=2) then write(i,' ');
readln
end.
Cuyas respuestas son las siete que te he dado
Y eso es todo.
