5.13)
Si s es un ciclo habrá unos elementos ordenados tal que la s lleve cada elemento al siguiente y el ultimó al primero.
Sin perder generalidad vamos a usar los números del 1 al n
(1, 2, 3, 4, ..., n)
s(1) = 2
s(2) = 3
....
s(n) = 1
Entonces s^2 hará esto
s^2(1) = s(s(1)) = s(2) = 3
s^2(3) = s(s(3)) = s(4) = 5
Luego s^2 en principio será (1, 3, 5, ....
Veamos que pasa cuando llegamos al final.
Si n es impar llegaremos a n en el ciclo y el siguiente será
s^2(n) = s(s(n)) = s(1) = 2
y ahora continuaremos con los pares
s^2(2) = s(s(2)) = s(3) = 4
llegaremos hasta n-1 que será par y el siguiente será
s^2(n-1) = s(s(n-1)) = s(n) = 1
con lo que se completa el ciclo
El ciclo será
s^2 = (1, 3, 5, ...., n, 2, 4, ..., n-1)
Mientras que si n es par llegaremos hasta n-1 que es impar y el siguiente será
s^2(n-1) = s(s(n-1)) = s(n) = 1
Con lo que se cierra el ciclo solo con los impares, debemos abrir otro con los pares
Que empezará con el 2 y llegará hasta n que es par puesto que s^2(n) = 2
Asi que si n es par la permutación será
s^2 = (1, 3, ..., n-1) (2, 4, ..., n)
Luego estaban en lo cierto, si n es impar es un ciclo, mientras que si par son dos ciclos.
Y eso es todo.
