Ejercicio de Ecuaciones Diferenciales
Hola Valero.
Me encargaron solucionar varias ecuaciones diferenciales, con el método de sustitución x=vy (+o y=vx= pero una de ellas no es homogénea porque una función M(x,y) es diferente a tM(x,y). Entonces ando buscando alguna otra manera de poder resolverla, ya intente, y me salió una respuesta, pero estoy seguro que está mal, ya que al comprobar no hay una identidad en la ecuación, espero me puedas ayudar en que paso me he equivocado, ta que no me han enseñado varios pasos como "Factor Integrante" o "Bernoulli", pero trato de utilizarlos.
$$\begin{align}&x^2\frac{dy}{dx}-2xy=3y^4\\ &\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=\frac{3y^4}{x^2}\\ &\frac{dy}{dx}+P(x)y=f(x)y^n\end{align}$$Escogemos
$$\begin{align}&y=u^{1-n}=u^{1-4}=u^{-3}\\ &\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\\ &\frac{dy}{dx}=-3u^{-4}\frac{du}{dx}\end{align}$$Sustituimos
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x}=\frac{3y^4}{x^2}\\ &(-3u^{-4}\frac{du}{dx})-\frac{2(\frac{1}{u^3})}{x}=\frac{3(\frac{1}{u^3})^4}{x^2}\\ &\frac{-3}{u^4}\frac{du}{dx}-\frac{2}{u^3x}=\frac{3}{u^{12}x^2}\\ &\frac{-3}{u}\frac{du}{dx}-\frac{2}{x}=\frac{3}{u^9x^2}\\ &\frac{du}{dx}+\frac{2u}{3x}=\frac{3u}{-3u^9x^2}\\ &\frac{du}{dx}+\frac{2u}{3x}=-\frac{1}{u^8x^2}\end{align}$$Factor integrante
$$\begin{align}&e^{-\frac{2}{3}\int {\frac{1}{x}}\,\mathrm{d}x}=e^{\frac{2}{3}ln|x|}=x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{x^\frac{2}{3}}\\ &\frac{d}{dx}[\frac{u}{x^{\frac{2}{3}}}]=-\frac{1}{x^\frac{8}{3}u^8}\\ &\frac{u}{x^{\frac{2}{3}}}=-\int x^\frac{-8}{3}u^8\,\mathrm{d}x\\ &\frac{u}{x^{\frac{2}{3}}}=-(-\frac{3}{5})x^\frac{-5}{3}u^8+C\\ &u=\frac{3}{5}x^\frac{-7}{3}u^8+C\\ &1=\frac{3}{5}x^\frac{-7}{3}u^7+C\end{align}$$Regresamos el cambio de variable
$$\begin{align}&y=\frac{1}{u^3}\Rightarrow u=\frac{1}{y^\frac{1}{3}}\\ &1=\frac{3}{5}x^\frac{-7}{3}u^7+C\\ &1=\frac{3}{5}\frac{u^7}{x^\frac{7}{3}}+C\\ &1=\frac{3}{5}\frac{1}{y^\frac{1}{3}}\frac{1}{x^\frac{7}{3}}+C\\ &y^\frac{1}{3}=\frac{3}{5x^\frac{7}{3}}+C\end{align}$$Esta fue la solución general que logre sacar pero deben haber errores. Espero su ayuda Valero por favor. Gracias
1 respuesta
Voy a resolverla por el método que tengo yo.
$$\begin{align}&\frac {dy}{dx}-\frac{2y}{x}=\frac{3y4}{x^2}\\ &\\ &\text{dividimos entre }y^4\\ &\\ &y^{-4}\frac{dy}{dx}-\frac 2xy^{-3}=\frac{3}{x^2}\\ &\\ &\text{Hacemos el cambio }\\ &\\ &z=y^{-3}\\ &\\ &\frac{dz}{dx}=-3y^{-4}\frac{dy}{dx}\implies y^{-4}\frac{dy}{dx}=-\frac 13 \frac{dz}{dx}\\ &\\ &\text {y queda la ecuación}\\ &\\ &-\frac 13 \frac{dz}{dx}-\frac 2xz =\frac {3}{x^2}\\ &\\ &\\ &\text{Multiplicando por -3}\\ &\\ &\frac{dz}{dx}+\frac{6}{x}z=-\frac{9}{x^2}\\ &\\ &\text{Es una ecuación lineal }\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x)\\ &\\ &\text{Hallamos }z=u(x)v(x)\text{ donde}\\ &\\ &v(x)=e^{-\int Pdx}= e^{-\int \frac 6xdx}=e^{-6lnx}=e^{lnx^{-6}}=x^{-6}\\ &\\ &u(x)=\int \frac{Q(x)}{v(x)}dx=\int-\frac{9x^6}{x^2}dx=-\frac{9x^5}{5}+C\\ &\\ &\\ &z(x)=-\frac{9}{5x}+\frac{C}{x^6}\\ &\\ &\\ &y(x) = z^{-\frac 13}=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{C}{x^6}-\frac{9}{5x}}}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{5C-9x^5}{5x^6}}}=\frac{\sqrt[3]{5}\;x^2}{\sqrt[3]{k-9x^5}}\end{align}$$Y eso es todo. La resolución de estas ecuaciones depende de la forma que te hayan enseñado, en algunos casos lo tienes que deducir todo, en otros te dan pequeñas fórmulas. No las he podido explicar mucho porque nada más que me paso un poco escribiendo en el editor de ecuaciones el ordenador se vuelve muy perezoso y es imposible escribir.
