Voy a demostrarlo para e caso de que G sea un conjunto finito. Para G infinito no se demostrarlo y no estoy seguro si será verdad. Deja también que no use la letra o como la operación, usaré lo habitual en notación multiplicativa, es decir, el punto o nada. También omitiré todos los trapicheos de la propiedad asociativa, no escribiré paréntesis.
Un elemento a es cancelable cuando de
ab=ac se sigue b=c
y cuando de
ba=ca se sigue b=c
El contrareciproco diría:
si b<>c ==> ab<>ac y ba <>ca
(El <> se usa en computación para denotar "distinto de", no se me ocurre mejor forma de simbolizarlo)
Entonces, al ser a cancelable, el producto por todos los elementos del grupo tendrá que dar resultados todos distintos. Sera una aplicación inyectiva de G en G.Como el conjunto es finito por mi suposición añadida, inyectiva ==> biyectiva, luego existirá un elemento que llamare e tal que cumple
ae = a
Primero vamos a ver que ea=a
Supongamos
ea=b
Vamos a operar en cruzado, miembro derecho de una igualdad por miembro izquierdo de la otra
aeb = aea
Y como todos los miembros son cancelables en uno o dos pasos (de las dos formas se puede hacer) llegamos a
b = a
Luego hemos demostrado que dado a existe e tal que ae=ea=a
Vamos a demostrar que ese e es el mismo para todos los elementos
Sea b y su elemento neutro particular sea g
bg = gb = b
Hagamos de nuevo unos productos cruzados, en este caso los selecciono así y pongo el paréntesis para que los identifiques mejor
(ae)b =a(gb)
eb = gb
e=g
Luego el elemento neutro es idéntico para todos los elementos, y es un elemento neutro como los de un grupo, por la izquierda y la derecha.
Una vez demostrado que hay elemento neutro vamos a demostrar que todo elemento tiene inverso.
Por el mismo razonamiento de antes el elemento a operado por todo el conjunto, arroja resultados todos distintos entre sí y como el conjunto es finito habrá un elemento al que llamare a' tal que
aa' = e
Ese a' es elemento inverso de a por la izquierda, vamos a ver que también lo es por la derecha
Supongamos
ba = e
operamos a la izquierda con a'
baa' = ea'
be = ea'
b=a'
Luego queda demostrado que existe a' tal que aa' =a'a = e
Luego cada elemento tiene su inverso al igual que en un grupo.
Y ya esta todo.
Es operación binaria interna, asociativa, con elemento neutro y elemento inverso, Luego es un grupo.
Y respecto a la acotación que he hecho de que sea finito es una condición necesaria. Si es infinito no se cumple, baste el ejemplo de los números positivos (lo mismo da naturales que reales) con la suma. Es una operación binaria interna, asociativa y con todos los elementos cancelables, pero no tiene elemento neutro ni inversos.
Y eso es todo.
Puntúa ya la pregunta o formula alguna aclaración si no entendiste algo. No puedo estar atento a tantas preguntas pendientes.
