Dada la función f(z) = z^3-4z definida sobre el intervalo [-2,2] hallar el valor

El ejercicio es sencillo, seguramente lo han puesto para comprobar que se cumple el teorema de Rolle que dice que si f es continua en [a,b], derivable en (a,b) y con f(a)=f(b) entonces existe c € (a,b) tal que f '(c) = 0

Veamos que se cumplen esas condiciones. La función es un polinomio que son continuos y derivables en todo R luego es continua en [-2,2] y derivable en (-2,2)

f(-2) = -8+8 = 0

f(2) = 8-8 = 0

Se cumplen las condiciones del teorema, y eso garantiza que existe al menos un punto c € (-2,2) tal que f '(c)=0

Bueno, todo lo hecho hasta ahora no lo piden pero no está mal saberlo. Ahora vamos a calcular el punto

$$\begin{align}&f '(z) = 3z^2 - 4 = 0\\ &\\ &3z^2 = 4\\ &\\ &z^2 = 4/3\\ &\\ &z =\pm \sqrt{\frac 43}=\pm \frac {2}{\sqrt 3}=\\ &\\ &\text{No suelen gustar las raíces en el denominador,}\\ &\text{racionbalizamos multiplicando y diviendo por }\sqrt 3\\ &\\ &\pm \frac{2 \sqrt 3}{\sqrt 3 \sqrt 3}=\pm \frac{2 \sqrt 3}{3}\end{align}$$

Esa es la expresión que hay que dar para los dos valores de c. Y sabemos que están en el intervalo (-2,2) ya que eran esos números divididos entre raíz de 3 que es mayor que 1. Pero si no se nos ha ocurrido ese razonamiento tomamos la calculadora y calculamos los valoreas y dan

+- 1.154700538

Que están en el intervalo (-2, 2)

Y eso es todo.