Probar que son congruentes
Si f(x) es un polinomio con coeficientes enteros y f(a) es congruente con k(modn), probar que para todo entero t, f(a+tn) es congruente con k(modn).
Sean c sub i los coeficientes del polinomio, los escribiré ci.
f(a) = c0 + c1·a + c2·a^2 + ... + cn·a^n
f(a+tn) = c0 + c1(a+tn) + c2(a+tn)^2 + ... + cn(a+tn)^n
Tomamos ahora el desarrollo de uno cualquiera de estos binomios
(a+tn)^i = a^i + i·a^(i-1)·tn + (i sobre 2)a^(i-2)·(tn)^2 + ...+(tn)^i
Todos los sumandos salvo el primero son múltiplos de n luego
(a+tn)^i := a^i (mod n)
donde con := quiero decir congruente
luego por una propiedad de las congruencias
ci(a+tn)^i := ci·a^i (mod n)
y por otra
[c0 + c1(a+tn) + ... + cn(a+tn)^n] := [c0 + c1·a + ... + cn·a^n] (mod n)
luego
f(a) := f(a+tn) (mod n)
Y eso es todo.
