Bartle Ejercicios parte 2.4 no. De ejercicio 4
Sea S4 = { 1-(-1)^n/n : n € N }. Encontrar inf S4 y sup S4.
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Veamos como es el conjunto para hacernos una idea
1- (-1)/1 = 1+1 = 2
1 - (-1)^2 / 2 = 1-1/2 = 1/2
1 -(-1)^3 / 3 = 1 +1/3 = 4/3
1-(-1)^4/4 = 1 -1/4 = 3/4
Enseguida se ve que que en los impares se suma una fracción a 1 y en los pares se resta una fracción a 1.
Además la fracción que se suma o resta es menor cada vez en valor absoluto ya que
n+1 > n ==>
1/(n+1) < 1/n
Luego la primera fracción que se suma es la mayor de cuantas se suman y la primera fracción que se resta es la mayor de cuantas se resta.
Luego el supremo es 1 +1 = 2
y el ínfimo es 1 - 1/2 = 1/2
Todos los demás determinan intervalos encajados que tienden a 1
Y eso es todo.
Gracias muy amable y se puede demostrar por inducción? de ser asi podrías ayudarme?
Yo creo que no es necesario demostrarlo por inducción
Tenemos dos subsucesiones, la de los impares es:
1 + 1, 1+1/3, 1+1/5, 1+1/7
La demostración de que 1/n > 1/ (n-1) no necesita inducción es simplemente por el cambio de sentido que se da en la desigualdad
N < n+1 cuando se invierten lo s términos
1/ n > 1/(n+1)
Luego cada término de la sucesión es menor que el anterior. Y el límite cuando n tiende a infinito de
1+1/(2n-1) = 1 + 1/oo = 1 + 0 = 1
Y la subsucesión de los impares es
1-1/2, 1-1/4, 1-1/6
Esta es creciente ya que cada vez se resta un número menor
Y el límite en el infinito es
1-1/(2n) = 1 - 1/oo = 1-0 = 1
Luego S4 es la unión de dos sucesiones, una monótona entre decreciente entre 2 y 1 y otra monótona creciente entre 1/2 y 1.
Todo S4 está dentro de l intervalo [1/2, 2] y además 1/2 pertenece a S4 luego es cota inferior y es la mayor cota inferior posible luego es el ínfimo. Y 2 también pertenece a S4 y es la mínima cota superior posible de s4, luego es el supremo.
La inducción debe usarse donde debe usarse, aquí no es necesaria y alargaría la resolución.
