Álgebra superior
Sea f un homomorfismo que va de G a G´ y sea H´un subgruopo normal de G´. Sea H=f^-1 (H´). Pruebe que H es normal en G.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Por ser H' un subgrupo normal de G' tendremos que para todo h € H' y todo g € G' se cumple gh(g^-1) € H'
Tomemos ahora un elemento h € H y un elemento g € G, tenemos que demostrar que se cumple gh(g^-1) € H.
Lo que sabemos es que puesto que h € f^-1(H') se tiene que f(h) € H'.
Entonces:por ser f un homomorfismo:
f[gh(g^-1)] = f(g)·f(h)·f(g^-1)
y como f(h) € H' tenemos que el producto f(g)·f(h)·f(g^-1) € H'
luego f[gh(g^-1)] € H'
luego gh(g^-1) € f^-1(H')
luego gh(g^-1) € H
Y ya está demostrado.
Eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido aun con lo difícil que es escribir con este editor. No olvides puntuar.
Tomemos ahora un elemento h € H y un elemento g € G, tenemos que demostrar que se cumple gh(g^-1) € H.
Lo que sabemos es que puesto que h € f^-1(H') se tiene que f(h) € H'.
Entonces:por ser f un homomorfismo:
f[gh(g^-1)] = f(g)·f(h)·f(g^-1)
y como f(h) € H' tenemos que el producto f(g)·f(h)·f(g^-1) € H'
luego f[gh(g^-1)] € H'
luego gh(g^-1) € f^-1(H')
luego gh(g^-1) € H
Y ya está demostrado.
Eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido aun con lo difícil que es escribir con este editor. No olvides puntuar.
