Sea Xn una sucesión monótona creciente acotada superiormente..

Hay un teorema que dice que una sucesión monótona creciente acotada superiormente es convergente. Incluso otro que dice que una sucesión monótona convergente es acotada

Luego nos centraremos en ver que el límite es sup(S)

Supongamos que el limite sea L distinto de Sup(S)

En conjunto S esta ordenado de menor a mayor por ser la sucesión monótona creciente y como converge se cumplirá

Para todo e > 0 existe un n € N tal que |xk-L| < e para todo k>n

L debe ser mayor o igual que cualquier xi ya que si fuese menor a partir de un xi sería imposible que ese valor absoluto fuera menor que un e = xi-L

Luego L es una cota superior de S y por tanto mayor o igual que Sup(S)

Pero si fuese mayor tomaríamos e=L-sup(S) y no habría ese elemento n a partir del cual el valor absoluto fuera menor que e ya que

|L - xi| = L - xi >=L -sup(S) = e

Luego sería absurdo porque L no sería el límite. El absurdo viene de considerar que que el límite es distinto de sup(S) luego deben ser iguales

Y eso es todo.