Vectores! Por favor es pregunta de examen

Se podría ir haciendo matrices de tres donde las dos primeras filas fueran los vectores (-1,2.3) y (2,-1,3) y la tercera un punto cada vez. Y si pudiéramos hacer mediante operaciones de filas que la tercera si hiciese cero significaría que el punto es combinación lineal de los vectores y pertenecería al plano.

Pero creo que lo mejor es calcular la ecuación del plano. ¿Habéis dado la forma de calcular el plano que pasa por un punto y tiene dos vectores?

Si el punto es P(xo,yo,zo) y los vectores u=(ux,uy,uz) v=(vx,vy.vz)

El plano se obtiene mediante un determinante igualado a 0

|x-xo y-yo z-zo|

| ux uy uz | = 0

| vx vy vz |

En este caso el punto es P es (0,0,0)

| x y z |

|-1 2 3 | = 0

| 2 -1 3 |

x(2·3+1·3) -y(-1·3-3·2) + z[(-1)(-1)-2·2] = 0

9x +9y -3z = 0

3x +3y - z = 0

Y con la ecuación del plano se va probando uno por uno

(6,1,1) ==> 3·6 +3·1 -1 = 20 No
(1,6,1) ==> 3·1 +3·6 -1 = 20 No

(6,6,6) ==> 3·6 + 3·6 - 6 = 30 No

(1,1,6) ==> 3·1 + 3·1 - 6 = 0 SI

Luego solo el punto (1,1,6) pertenece al plano.

Y eso es todo.