El punto o los puntos de intersección entre las gráficas de estas funciones

No, en realidad lo habías escrito bien de acuerdo a lo que quieres decir de que el nueve no esta en el exponente, pero quería estar seguro. Tal como estaba escrito lo primero que se hacía era elevar a la x

Lo que de verdad me está dando ahora que pensar es que has puesto 8.3 pero creo que ene realidad querías poner 8·3. No se si allí los teclados tienen este punto a media altura, aquí es España ese punto esta arriba de la tecla con el número 3 y es el que hay que poner para denotar multiplicación ya que si no se puede confundir con el punto decimal. Yo muy a pesar mío uso el punto decimal en lugar de la coma, pero es que si no es imposible aclararse con listas de números decimales separadas por coma.

Bueno, voy a resolverlo como si fuera 8 por 3. Igualamos las dos funciones:

3^(2x) = 8 · 3^x + 9

3^(2x) = 8 · 3^x + 3²

3^(2x) = 3²(8 · 3^(x-2) + 1)

El lado izquierdo tiene el 3 como único factor primo, mientras que el derecho puede tener otros factores ya que si

x-2>0 ==>

3^(x+2) es múltiplo de 3 ==>

8 · 3^(x+2) es múltiplo de 3 ==>

8 · 3^(x+2) + 1 no es múltiplo de 3 y habrá factores primos distintos y será imposible la igualdad.

Y si

x-2 <=0

3^(x-2) sera un número fraccionario con denominador una potencia de 3 ==>

8 · 3^(x-2) sera fraccionario no entero ==>

8 · 3^(x-2) + 1 es fraccionario ==>

3²(8 · 3^(x-2)+1) es fraccionario si x-2 < -2

Luego las únicas posibilidades son

x-2 = -2, -1 o 0 ==>

x=0, 1 o 2

Probemos a ver cuáles valen

3^(2·0) = 8 · 3^0 + 9

3^0 = 8+9

1 = 17 falso

3^(2·1) = 8 · 3^1 + 9

9 = 24+9 falso

3^(2·2) = 8 · 3² + 9

3^4 = 8 · 9 + 9

81 = 72 + 9

81 = 81

Luego esta es la que vale x=2

No sé, yo lo veo un poco complicado si se hace con todo rigor como lo hice y hubo partes que no puede explicar del todo bien, luego dudo que se resuelva como lo hice.

Y eso es todo.