¿Cómo se resuelve la siguiente integral?

Esa expresión no es directamente integrable. Hay que descomponerla en la suma de otras fracciones que si sean directamente integrables.

Hay una basta teoría sobre la forma de hacer esto. Y en concreto dice que cuando las raíces del denominador son reales y múltiples se puede expresar como sumas de este tipo

a /(x-r) + b/(x-r)^2 + c/(x-r)^3 + ... + s/(x-r)^n

Donde n es la multiplicidad de la raíz.

Tenemos la suerte de que no hay que calcular las raíces por que ya no s lo dan hecho. La descomposición es

x/(x+2)^2 = a/(x+2) + b/(x+2)^2 =

Para calcular a y b se efectúa el segundo miembro

= [a(x+2) + b] / (x+2)^2 = (ax + 2a + b) / (x+2)^2

Ahora debemos fijarnos en el primer término y el último, son iguales y tienen el mismo denominador, luego el denominador debe ser igual, así que:

x = ax +2a + b

Esto es una igualdad de polinomios, luego deben ser iguales los coeficientes de grado cero y grado 1, esto se traduce en

1 = a

2a+b = 0 ==> 2+b = 0 ==> b = -2

Ya hemos calculado a y b de la descomposición ahora los ponemos en su sitio y la integral inicial es la suma de dos integrales sencillas

$[x/(x+2)^2]dx = $[1/(x+2)]dx + $[-2/(x+2)^2]dx =

que son inmediatas o casi

ln|x+2| + 2/(x+2) + C

Tal como decía el problema.

Y eso es todo.