Calcular el volumen sólido al girar la región limitada por la curvas alrededor del eje y

Como ya es habitual cuando te piden que gire respecto a un eje te dan las ecuaciones que no sirven

En este caso por girar respecto ae eje Y las ecuaciones deben ser de la forma x=f(y)

y=4x^2 ==> x = +- sqrt(y/4)

y=x^2+3 ==> x = +- sqrt(y-3)

Se comprueba fácilmente que los puntos de intersección de las dos curvas son

(-1, 4) y (1,4)

ya que

4(1)^2=4 y 1^2+3=4

4(-1)^2= 4 y (-1^2)+3=4

La función x=sqrt(y/4) entre y=0 e y=4 nos dará el volumen total al que habrá que restar el volumen del hueco que nos da la función x=sqrt(y-3)

$$\begin{align}&V_T=\pi\int_0^4 \sqrt{\frac y4}dy=\pi \frac 12\int_0^4y^{\frac 12}dy=\\ &\\ &\\ &\pi \frac 12\left[\frac 23 y^{\frac 32}  \right]_0^4=\frac{8\pi}{3}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &V_H=\pi\int_3^4 \sqrt{y-3}dy=\\ &\\ &\pi \frac 23\left[(y-3)^{\frac 32}  \right]_3^4=\\ &\\ &\frac {2\pi}3(1-0)=\frac{2\pi}{3}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &V=\frac{8\pi}{3}-\frac{2\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}=2\pi\end{align}$$

Y eso es todo.

Muchas gracias.