Calcular la integral mediante sustitución trigonométrica para cada caso

Los problemas de visión de algunas respuestas no son problema mío suelen ser de la página de TodoExpertos. Ojala puedas verlos porque si no tengo que volver a responder la pregunta, ya me ha pasado algunas veces. Ya me dirás si alguna no has podido verla.

Para este tipo de integral

sqrt(m^2·x^2+n^2)

el cambio es x=(n/m)tgt

$$\int x^3 \sqrt{x^2+4}dx=\\ \\ x=2 tgt \quad dx = \frac{2}{\cos^2t}\\ \\ \\ =2\int 8tg^3t \sqrt{4tg^2t+4}\frac{dt}{\cos^2t}=\\ \\ \\ 32\int \frac{sen^3t}{\cos^3t}\sqrt{\frac{sen^2t}{\cos^2t}+1}\frac{dt}{\cos^2t}dt=\\ \\ \\ 32\int \frac{sen^3t}{\cos^3t}\sqrt{\frac{sen^2t+\cos^2t}{\cos^2t}}\frac{dt}{\cos^2t}dt=\\ \\ \\ 32\int \frac{sen^3t}{\cos^5t}·\frac{1}{cost}dt =\\ \\ \\ 32\int \frac{sen^3t}{\cos^6t}dt=\\ \\ \\ 32\int \frac{(1-\cos^2t)sentdt}{\cos^6t}=\\ \\ z=cost\quad dz=-sendt\\ \\ -32\int \frac{1-z^2}{z^6}dt=-32\int (z^{-6}-z^{-4})dt=\\ \\ 32\left(\frac{z^{-5}}{5}-\frac{z^{-3}}{3}\right)+C=\\ \\ 32\left(\frac{1}{5cos^5t}-\frac{1}{3cos^3t} \right)=\\$$

Y ahora viene deshacer el cambio más difícil.

$$\begin{align}&\text{Teníamos x=2tgt}\implies tgt=\frac x2\\ &\\ &cost=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac x2  \right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{x^2+4}}\\ &\\ &\\ &\text{Y la integral queda}\\ &\\ &I=32\left(\frac{1}{\frac{5·32}{\sqrt{(x^2+4)^5}}}- \frac{1}{\frac{3·8}{\sqrt{(x^2+4)^3}}}\right)+C=\\ &\\ &\\ &\\ &32\left( \frac{\sqrt{(x^2+4)^5}}{5·32} - \frac{\sqrt{(x^2+4)^3}}{3·8}\right)+C=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{\sqrt{(x^2+4)^5}}{5}-\frac{4 \sqrt{(x^2+4)^3}}{3}+C=\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.