Calcular extremos absolutos función
como determino los extremos absolutos de la función f(x) = (x^2 - 9) ^2, en el intervalo (-1,5)
gracias
Cuando una función es continua y derivable en un intervalo los extremos absolutos o bien son los extremos relativos, o bien son el principio o fin del intervalo.
Primero calculamos extremos relativos derivando e igualando a cero
f '(x) =2(x^2-9)·2x = 4x^3 - 36x = 0
tenemos una raíz x=0
Simplificamos y queda
4x^2 - 36 = 0
4x^2 = 36
x^2 = 9
x=- 3 y 3
Pero nuestro intervalo es [-1, 5], luego el -3 no entra y los extremos relativos están x=0 y x=3
Calculamos la derivada segunda para saber si son máximos o mínimos
f ''(x) = 12x^2 - 36
f ''(0) = -36 es máximo relativo
f ''(3) = 12·9 - 36 > 0 es mínimo relativo
Vamos a calcular el valor de la función en esos puntos para comparar con los valores de principio y fin,
f(0) = (0-9)^2 = 81
f(3) = (3^2 - 9)^2 = 0
f(-1) = [(-1)^2 -9]^2 = 64
f(5) = (5^2 - 9)^2 = 16^2 = 256
Pues esos son los cuatro valores que debemos examinar, el menor es cero y el mayor 256, luego
El máximo absoluto está en el punto (5, 256)
El mínimo absoluto está en el punto (3, 0)
Y eso es todo.
