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5.16)
El libro este es muy viejo y las letras pequeñas de los índices o superíndices son confusas miles de veces. Imagino que quiere decir lambda sub alfa, porque lambda sub a sería una cosa bien distinta que ya intenté y no me salía ningún grupo.
Usaremos el teorema de caracterización de subgrupos que dice que un subconjunto H de un grupo G es subgrupo si y solo si se cumplen estas dos cosas:
i) H no es vacío
Ii) Para todo par de elementos a, b € H se cumple a·b^-1 € H
i) H no es vacío, tiene el menos un elemento ya que G no es vacio.
Ii) Sean a y b pertenecientes a H. Por definición existen c y d tales que
a = alfa·c
b = alfa·d
b^-1 = d^-1·alfa^-1
a·b^-1 = alfa·c·d^-1·alfa^-1
Si llamamos f = c·d^-1·alfa^-1 tenemos
a·b^-1 = alfa·f
Luego a·b^-1 € H
Luego H es un subgrupo de G.
Y eso es todo si entendí bien esa letra ilegible que tiene el problema.
Espera, ahora no tengo tiempo, pero creo que está mal respondido porque debe poner a en vez de alfa y el grupo es el grupo de las transformaciones. No lo entendí bien de primeras.
Yo había considerado que el considerado que el conjunto H era un subconjunto de G, pero es un subconjunto de las permutaciones de G con la operación multiplicación de permutaciones que al fin y al cabo es una composición de funciones.
Probaremos lo de los subgrupos:
i) Que no es vacío
Ii) que dados un elemento y su opuesto de H el producto de los dos pertenece a H.
i) Como G no es vacío tiene algún elemento a Y entonces H tiene lambda sub a.
Ii) Sea dos elementos lambda sub a y lambda sub b de H. Como esos nombres son impracticables los llamare f y g
Veamos como es g^-1
Sea x €, la definición del enunciado dice
xg = b·x
Donde xg puede confundirnos, en la notación que se usa en Análisis Matemático sería g(x).
g^-1 sera la función que compuesta con g nos de la identidad
x(gg^-1) = x
(xg)g^-1 = x
(bx)g^-1 = x
(bx)g^-1 = (b^-1·b)·x
(bx)g^-1 = b^-1(bx)
llamando y = bx tenemos
yg^-1 = b^-1·y
Ya tenemos la definición de g^-1
Ahora veamos que fg^-1 pertenece a H
Sea x € G
x(fg^-1)=
No me gusta para nada la notación inversa esta que se usa para las funciones. Ahora la primera función que actúa sobre x es g^-1 y después f
x(fg^-1) = (xg^-1)f = (b^-1·x)f = a(b^-1·x) = (ab^-1)x
Luego fg^-1 es una permutación del tipo lambda sub (ab^-1), luego pertenece a H
Y eso es todo, que difícil es aclararse con esta notación y sin poder usar subíndices.
