Sistema de ecuaciones lineales!
hola tengo dos preguntas para que me hicieras el favor de explicarme:
* es posible encontrar una ecuación lineal que no tenga solución?
se que si es posible pero no se como explicarlo se que en cada ecuación lineal hay tres casos de soluciones 1.las que tienen única solución 2.las que no tienen solución que es cuando se presente un absurdo matemático y 3. Las que tienen infinitas soluciones y mi pregunta es que si estoy bien o no
la otra es:
*es posible encontrar una ecuación lineal que no tenga solución?
lo que se de ecuaciones homogéneas es que es aquella ecuación donde su termino independiente es cero y pues yo creo que pasa lo mismo por ser una ecuación lineal que tiene tres casos de soluciones.
la verdad es que no he practicado este tipo de ecuaciones para asegurar esto apenas estoy iniciando mi curso de álgebra lineal y me siento un poco confundida.
de antemano muchísimas gracias por tu ayuda!!!!
1 Respuesta
Si, por supuesto que hay sistemas de ecuaciones lineales sin solución. Para hacerte una idea piensa en un sistema de ecuaciones de de dos incógnitas. Cada una de ellas es la ecuación de una recta en el plano y la solución es el punto donde se cortan. Si son paralelas no hay solución. Ahí tienes un sistema de ecuaciones sin solución.
Dos rectas paralelas corresponderían a un caso como este:
2x+y = 3
2x+y = 5
Verdad que es imposible que haya respuesta, ¿no? Una misma cosa no puede valer a la vez 3 y 5
Lo que pasa es que tampoco te lo pondrán tan evidente, pueden ponerte
2x+y=3
-3x -(3/2)y = -15/2
Que es exactamente lo mismo pero no se ve a primera vista y no tiene solución. Simplemente hemos multiplicado la segunda por -3/2.
Si necesitas algo más complicado piensa en el espacio. Ahí las ecuaciones representan planos. Si dos de ellos son paralelos no hay solución. En realidad no hace falta que haya dos planos paralelos, simplemente basta que uno sea paralelo a la recta donde se cortan los otros dos.
Tomemos dos planos caulesquiera:
2x+y-z = 2
x -y +2z=2
Ahora tomemos una combinación lineal de ellos, por ejemplo primero más dos veces el segundo
(2x+y-z =2) +( 2x-2y+4z =4) = (4x-y+3z=6)
Bien, pues basta que tomemos esa combinación lineal y cambiemos el resultado, por ejemplo:
4x-y+3z=5
Ahora el sistema formado por:
x -y +2z=2
2x+y-z = 2
4x-y+3z=5
No tiene solución porque hemos introducido un absurdo, la tercera ecuación tenía que valer 6 obligatoriamente para estar de acuerdo con las primeras.
Esto se traduce luego en términos de álgebra lineal a que el rango de la matriz de coeficientes será distinto del rango de la matriz ampliada. Si ya has dado come se resuelven por el método de Gauss-Jordan tendrás esto:
1 -1 2 | 2 1 -1 2 | 2 1 -1 2 | 2 2 1 -1 | 2 0 3 -5 |-2 0 3 -5 |-2 4 -1 3 | 5 0 3 -5 |-3 0 0 0 |-1
Aparte del absurdo de que la suma de tres cosas nulas sea -1, puedes ver que la matriz de coeficientes tiene rango 2 al tener la ultima fila con todo ceros mientras que la de coeficientes tiene rango tres porque puedes tomar el menor
1 2 2 0 -5 -2 0 0 -1
Que de inmediato se ve que su determinante es 5
Y las homogéneas tienen siempre una solución al menos, ya que la solución x=0, y=0, z=0,... siempre la tienen al menos.
Y eso es todo.
