Hallar la longitud de la cuerda:

La formula de la longitud del arco de f(x) entre a y b es

$$\begin{align}&l=\int_2^4 \sqrt{1+[f´(x)]^2}dx\\ &\\ &dada\; p(x)=\frac{x^2}{2}-lnx\\ &\\ &p´(x)=x-\frac 1x\\ &\\ &\text{y la longitud será}\\ &\\ &l=\int_2^4 \sqrt {1+\left(x-\frac 1x  \right)^2}dx=\\ &\\ &\int_2^4 \sqrt {1+x^2+\frac 1{x^2}-2}dx=\\ &\\ &\int_2^4 \sqrt {x^2+\frac 1{x^2}-1}dx=\\ &\\ &\int_2^4 \frac{\sqrt {x^4+1-x^2}}{x}dx=\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Esta integral se sale bastante de lo común para calcular la función primitiva, de hecho yo no la sé hacer. Revisa el enunciado para ver si está bien y si interpreté bien la función.

Sigo esperando la aclaración

Hola buenos días, pues mira que asi la puso el profe, no se...el no volvió a decir nada sobre el tema...

de todas maneras muchas gracias, que tengas un buen dia.

Pues si no dijo nada más sería porque se dio cuenta que era muy difícil supongo.

$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt{1-x^2+x^4}}{x}dx=\\ &\\ &t=x^2\quad dt=2xdx \quad dx=\frac{dt}{2x}=\frac {dt}{2 \sqrt t}\\ &\\ &\frac 12\int \frac{\sqrt{1-t+t^2}}{t}dx=\\ &\\ &\text{completamos cuadrados}\\ &\\ &t^2-t+1 = \left(t-\frac 12\right)^2-\frac 14+1=\left(t-\frac 12\right)^2+\frac 34\\ &\\ &\\ &=\frac 12 \int \frac{\sqrt{\left(t-\frac 12\right)^2+\frac 34}}{t}dt=\\ &\\ &s=t-\frac 12  \quad ds = dt\\ &\\ &\\ &=\frac 12 \int \frac{\sqrt{s^2+\frac 34}}{s+ \frac 12}dt=\\ &\\ &\\ &s=\frac 12 \sqrt 3\, tg(p)\quad ds=\frac 12 \sqrt 3 sec^2 p dp\\ &\\ &\\ &=\frac 12 \int \frac{\sqrt{\frac 34 tg^2 p+\frac 34}}{\frac 12 \sqrt 3\, tgp+\frac 12}\frac 12 \sqrt 3 sec^2 p dp=\\ &\\ &\\ &\frac 12 \frac 12 \sqrt 3 \frac{\sqrt 3}{2}\int \frac{\sqrt{tg^2p+1}\;sec^2p}{\frac{\sqrt 3}{2} tgp+\frac 12}dp=\\ &\\ &\frac 38 \int \frac{sec^3p}{\frac{\sqrt 3}{2} tgp+\frac 12}dp=\\ &\\ &w=tg \frac p2\quad dw=\frac 12 sec^2 \left(\frac p2\right)dp\end{align}$$

Y lo dejo aquí, lo que queda es todavía mucho más duro y no hay quien lo transcriba aparte que el ordenador ya se esta bloqueando.

Se había pasado 5 pueblos el profesor.