Aplicaciones de la derivada
Se presentan en nuestra vida casos cuya solución consiste en establecer valores extremos (máximos o mínimos) de una función. Si podemos o sabemos cómo plantear la función requerida, nos será posible resolver muchos de estos casos de
aplicación práctica.
1.- Se quiere construir una caja de volumen máximo utilizando una pieza cuadrada de
aluminio de 10 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas
y doblando las partes restantes, ¿cuál debe ser la altura de la caja, para
obtener un volumen máximo?
a) Escribe la relación matemática entre las variables.
Llegué al resultado siguiente:
V=volumen
V= (10-2x)(10-2x)(x)
Solo se haría la multiplicación, pero me pide además
b)Derivar la función.
c)Igualar a cero la derivada y resolver.
d) Los valores encontrados sustituirlos en la función que deseamos maximizar
e)Decidir cuál valor es el que maximiza o minimiza la función.
Apreciaría mucho tu ayuda.
2 Respuestas
Ya habíamos visto que
V = (10-2x)(10-2x)x = x(10-2x)^2 = x(100-40x+4x^2) = 4x^3 - 40x^2 +100x
asi es mucho más fácil de derivar
b) V'(x) = 12x^2 - 80x + 100
c) 12x^2 - 80x + 100= 0
dividimos por 4 para que las cuentas sean más sencillas
3x^2 - 20x + 25 = 0
$$\begin{align}&x=\frac{20\pm \sqrt{20^2-4·3·25}}{6}=\\ &\\ &\frac{20\pm \sqrt{400-300}}{6}=\\ &\\ &\frac{20\pm 10 }{6}= 5 \;y \;\frac{5}{3}\\ &\\ &\end{align}$$d) Ahora tomamos la función
V(x)= x(10-2x)^2
Puesta de esa forma se simplifican los cálculos será mejor
V(5) = 5(10-10)^2 = 0
V(5/3) = (5/3) (10 - 10/3)^2 = (5/3)(20/3)^2 = (5/3)(400/9) = 2000/27
d) 5 es el valor que la minimiza y 5/3 es el valor que la maximiza
Y eso es todo.
·
Habíamos llegado a una ecuación de segundo grado. Supongo que sabrás como se resuelven estas ecuaciones
$$\begin{align}&ax²+bx+c=0\\&\\&entonces\\&\\&x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&\\&\text {Luego para}\\&\\&3x^2 - 20x + 25= 0\\&\\&x=\frac{20\pm \sqrt{20^2-4·3·25}}{2·3}\end{align}$$Y todo lo demás es igual que antes.