Ayuda con esto de Álgebra Moderna.
Dadas las aplicaciones
$$\alpha : n \rightarrow n^{2} + 1 \,\,\,\, y \,\,\,\,\beta: n \rightarrow 3n + 2 \,\,\,\, de \,\,\,\,N \,\,\,\,en \,\,\,\,N$$hallar:
$$\alpha \alpha = n^{4}+2n^{2}+2, \,\,\, \beta \beta, \,\,\, \alpha \beta=3n^{2}+5, \,\,\, y \,\,\, \beta \alpha.$$Nota: en el libro con el que estoy trabajando se le llama aplicaciones a las funciones.
1 Respuesta
La operación se llama composición. Consiste en calcular la aplicación del valor de una aplicación anterior. En teoría de funciones se efectúa primero la aplicación de la derecha y luego la de la izquierda, es la típica
(fog)(x) = f[g(x)]
Sin embargo en álgebra he visto la notación inversa en algún libro
Xfg
Luego las composiciones alfa·beta y beta·alfa puede ser que tengan que intercambiarse de acuerdo con la notación de tu libro
alfa[alfa(n)] = alfa(n^2 + 1) = (n^2+1)^2 + 1 = n^4 + 2n + 1 + 1 = n^4 + 2n + 2
beta[beta(n)] = beta(3n+2) = 3(3n+2) + 2 = 9n + 6 + 2 = 9n + 8
alfa[beta(n)] = alfa(3n+2) = (3n+2)^2 + 1 = 9n^2 + 12n + 4 + 1 = 9n^2 + 12n + 5
beta[alfa(n)] = beta(n^2+1) = 3(n^2+1) + 2 = 3n^2 + 3 + 2 = 3n^2 + 5
Vale, por el resultado de que das para alfa·beta veo que usa la notación inversa a la que empleé yo, entonces las soluciones son:
alfa·alfa = n^4 + 2n + 2
beta·beta = 9n +8
alfa·beta = 3n^2+5
beta·alfa = 9n^2 + 12n +5
Y eso es todo.
