Ayuda con integral!

Dividiremos en dos integrales la que hay, una que tenga todo lo que sea x y una constante adecuada para que sea la derivada de una función raíz cuadrada y otra que solo tendrá una constante en el numerador y sera la derivada de un arg ch(x) [significa argumento del coseno hiperbólico, la inversa del seno hiperbólico]

$$\begin{align}&\int \frac{1-x}{\sqrt{x^2+4x+3}}dx=\\ &\\ &\\ &-\int \frac{x-1}{\sqrt{x^2+4x+3}}dx=\\ &\\ &\\ &-\int \frac{2x-2}{2 \sqrt{x^2+4x+3}}dx=\\ &\\ &\\ &-\int \frac{(2x+4) -6}{2 \sqrt{x^2+4x+3}}dx=\\ &\\ &\\ &-\int \frac{(2x+4)}{2 \sqrt{x^2+4x+3}}dx-\int \frac{ -6}{2 \sqrt{x^2+4x+3}}dx=\\ &\\ &\\ &\\ &-\sqrt{x^2+4x+3}+\int \frac{ 3}{\sqrt{x^2+4x+3}}dx=\\ &\\ &\text{completamos cuadrados}\\ &\\ &x^2+4x+3=(x+2)^2-4+3=(x+2)^2-1\\ &\\ &\text{¡Qué bien, quedo el 1, no hay que operar nada!}\\ &\\ &\\ &= -\sqrt{x^2+4x+3}+3\int \frac{dx }{\sqrt{(x+2)^2-1}}=\\ &\\ &\\ &-\sqrt{x^2+4x+3}+3\, arg\,ch(x+2)+C=\\ &\\ &\text{Si lo quieres en funciones no hiperbólicas} \\ &\\ &=-\sqrt{x^2+4x+3}+3\, ln(\sqrt{x^2+4x+3}+x+2)+C\end{align}$$

Por si no conoces todas las fórmulas hiperbólicas que he usado aquí las tienes

Wikipedia. Funciones hiperbólicas

Y eso es todo.