Ayuda! Ecuación diferencial usando separación de variables.

Aquí tenemos que la x es la variable dependiente y t la independiente, es

x = f(t)

Pongamos la notación x' = dx/dt que es mucho más claro trabajar con ella en este caso.

$$\begin{align}&2tx^2 + 2t + (t^4+1)\frac{dx}{dt}=0\\ &\\ &(t^4+1)\frac{dx}{dt}= -2tx^2-2t\\ &\\ &(t^4+1)\frac{dx}{dt}= -2t(x^2+1)\\ &\\ &\frac{dx}{x^2+1}=-\frac{2t}{t^4+1}dt\\ &\\ &\text{integramos en los dos lados}\\ &\text{la izquierda es inmediata,}\\ &\text{y la derecha medio inmediata}\\ &\\ &arctg\, x=-arctg\,t^2 + C\\ &\\ &arctg\; 0 = -arctg\, 1^2 + C\\ &\\ &0 = - \frac{\pi}{4}+ C\\ &\\ &C=\frac{\pi}{4}\\ &\\ &arctg \,x = -arctg \,t^2 + \frac{\pi}{4}\\ &\\ &x= tg\left(-arctg \,t^2 + \frac{\pi}{4}\right)=\\ &\\ &\\ &\text{usando la fórmula} tg(a+b)=\frac{tga+tgb}{1-tga\,tgb}\\ &\\ &\\ &=\frac{tg(-arctg\, t^2)+1}{1-tg(-arctg\, t^2)}=\\ &\\ &\text{la tangente del ángulo opuesto es la opuesta}\\ &\\ &= \frac{-t^2+1}{1+t^2}= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.