Pregunta de Integrales triples
Hola Valeroasm!.
En esta ocasión:
La lemniscata (x^2+y^2)^2=2(x^2-y^2) es la base de un cilindro recto, cuyo extremo superior esta acotado por la superficie esférica x^2+y^2+z^2=2.Calcule el volumen del soldó acotado por las superficies mencionadas.
(En esta pregunta quiero saber el resultado exacto sin error en las operaciones)
1 respuesta
Esto en rectangulares no hay quien lo integre. ¿Podré emplear polares para la lemniscata que serán cilíndricas para el sólido? ¿Podre tomar la ecuación en polares directamente de la wikipedia sin tener que deducirla yo?
He hecho muy pocos problemas de polares precisamente. Ten paciencia porque estoy de preguntas a más no poder y ahora tengo unos días que no puedo dedicar mucho tiempo a contestarlas.
Claro, cualquier método quiero saber la respuesta para comparar con la clave, luego te dijo si coincide con la clave.
Pondremos la lemniscata en forma polar.
En la wikipedia tenemos que la correspondencia entre unas coordenadas y otras es
$$\begin{align}&(x^2+y^2)^2 = 2a^2(x^2-y^2)\\ &\\ &r^2 = 2a^2cos(2\theta)\\ &\\ &\text{Es fácil verificar que es cierto}\\ &\\ &(x^2+y^2)^2 = r^4\\ &\\ &\\ &x=rcos \theta\\ &y=rsen \theta\\ &x^2-y^2 = r^2(\cos^2\theta- sen^2\theta) = r^2cos 2\theta\\ &\\ &Luego \\ &\\ &r^4 = 2a^2r^2cos 2\theta\\ &\\ &r^2 = 2a^2cos2\theta\\ &\\ &\text{Luego nuestra lemniscata polar con a=1 es}\\ &\\ &r^2=2cos 2\theta\end{align}$$Asi como la lemniscata tiene simetría en los ejes X e Y también la tiene la superficie esférica superior que es es un esfera centrada en el origen. Podemos calcular el volumen como cuatro veces el volumen del primer cuadrante.
El primer cuadrante de la lemniscata se obtiene para al ángulo theta variando entre 0 y Pi/4 ya que el radio vector comienza valiendo a=1 y vale 0 por primera vez cuando cos 2theta = 0 ==> theta=pi/4. El intervalo ( pi/4, 3pi/4) no pertenece al dominio.
El volumen es una integral doble cuyo dominio es difícil de expresar en coordenadas rectangulares
$$\begin{align}&\frac V4=\int_0^1\int_?^? \sqrt{2-x^2-y^2}dy dx\\ &\\ &\text{O en forma de integral triple}\\ &\\ &\frac V4=\int_0^1\int_?^?\int_0^{\sqrt{2-x^2-y^2}}dzdydx\\ &\\ &\text{Hacemos el cambio de variable a cilindricas}\\ &x=rcos \theta; \;y=rsen\theta;\; z = z;\;Jacobiano=r\\ &\\ &\frac V4=\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sqrt{2cos2\theta}}\int_0^{\sqrt{2-r^2}}r\,dz\,dr\,d\theta=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sqrt{2cos2\theta}}r\left[z\right]_0^{\sqrt{2-r^2}}drd\theta =\\ &\\ &\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sqrt{2cos2\theta}}r \sqrt{2-r^2}drd\theta=\\ &\\ &\\ &\int_0^{\pi/4}-\frac 23 ·\frac 12\left[(2-r^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt{2cos2\theta}}d\theta=\\ &\\ &\\ &-\frac 13\int_0^{\pi/4}[ (2-2cos 2\theta)^{3/2}-2^{3/2}]d\theta=\\ &\\ &\\ &-\frac 13\int_0^{\pi/4}[(4sen^2\theta)^{3/2}-2 \sqrt 2]d\theta=\\ &\\ &\\ &-\frac 13\int_0^{\pi/4}[(4sen^2\theta)^{3/2}-2 \sqrt 2]d\theta=\\ &\\ &\\ &-\frac 13\int_0^{\pi/4} (8sen^3\theta -2 \sqrt 2)d\theta=\\ &\\ &\\ &-\frac 13\int_0^{\pi/4} 8(1-\cos^2\theta)sen\theta d\theta+\left[\frac {2 \sqrt 2\theta}3\right]_0^{\pi/4}=\\ &\\ &u=\cos\theta;\;du=-sen\theta d\theta\\ &\theta=0 \implies u=1\\ &\theta=\pi/4\implies u=\sqrt 2/2\\ &\\ &=\frac 83\int_1^{\sqrt 2 / 2}(1-u^2)du+\frac{\sqrt 2 \pi}{6}=\\ &\\ &\frac 83\left[ u-\frac{u^3}{3} \right]_1^{\sqrt 2 / 2}+\frac{\sqrt 2 \pi}{6}=\\ &\\ &\\ &\frac 83 \left(\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{2 \sqrt 2}{24}-1+\frac 13 \right)+\frac{\sqrt 2 \pi}{6}=\\ &\\ &\\ &\frac 83\left(\frac{10 \sqrt 2}{24}-\frac 23 \right)=\frac{10 \sqrt 2}{9}-\frac{16}{9}+\frac{\pi \sqrt 2}{6}\end{align}$$¡UFFF!
