Ayuda por favor ecuaciones diferenciales
La ley de Newton de enfriamiento afirma que la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre objetos es proporcional a la diferencia de temperatura entre los objetos y sus alrededores. Suponga que se saca pavo asado de un horno cuando su temperatura ha alcanzado el 185 F y se coloca sobre una mesa en un cuarto donde la temperatura es de 75 F. Si u (t) es la temperatura del pavo al cabo de t minutos, entonces a ley de Newton del enfriamiento implica
dt du
= k (u-75)
Esta podría resolverse como ecuación diferencial separable. Otro método es efectuar el cambio de variables y = u – 75.
a. ¿Cuál problema con valor inicial satisface la nueva función y? ¿Cuál e la solución? B. Si la temperatura del pavo es de 150 F después de media hora, ¿Cuál es luego de 45 minutos? C. ¿Cuándo llegara a 100 F?
1 Respuesta
du/dt = k(u-75)
LO primero dice que se podría resolver como una ecuación diferencial separable
du / (u-75) = k·dt
ln(u-75) + lnC = kt
ln[C(u-75)] = kt
C(u-75) = e^(kt)
u-75 = e^(kt) / C
reajustamos la constante de integración llamando C a lo que era 1/C
u-75 = Ce^(kt)
u = 75 + Ce^(kt)
Haciendo el cambio de variable y =u-75 tenemos
dy/dt =du/dt
dy/dt = ky
dy/y = kdt
lny + lnC = kt
ln(Cy) = kt
Cy = e^(kt)
y = (1/C)e^(kt)
Y como antes, dejamos la constante de integración a nuestro gusto, de ls forma que menos moleste, para ello tomamos la inversa de la que hay
y = Ce^(kt)
a) Si para u el valor inicial era 185, como
y = u-75
el valor inicial sera
y = 185 - 75 = 110
Luego el problema será resolver la ecuación diferencial
dy/dt = ky
con yo = 110
Ya calculamos arriba la solución de la ecuación diferencial, ahora calculamos C sabiendo que para t=0 el valor de la solución es 110
110 = Ce^(k·0) = C
Luego la solución es
y = 110e^(kt)
b) Vamos a considerar el tiempo medido en minutos. Lo mismo puede hacerse en horas o segundos, lo único que la constante k variara según lo unidad que tomemos.
Vamos a usar mejor la función u que la y para esta parte del problema. Como y =u-75 tenemos u = 75+y
u(t) = 75 + 110e^(kt)
Entonces en el minuto 30 la temperatura es 150 F, ponemos ese dato en la solución.
150 = 75 + 110e^(30k)
75 = 110e^(30k)
75/110 = e^(30k)
ln(15/22) = 30k
k = ln(15/22) / 30 = -0.012276640841
La temperatura a los 45 minutos será.
u(45) = 75 + 110e^(-0.012276640841 · 45) = 75 + 61.9292 = 136.9292 F
Y para ver cuando llega a los 100 grados le damos ese valor a la u
u(t) = 100 = 75 + 110e^(-0.012276640841·t)
25 = 110e^(-0.012276640841·t)
25/110 = e^(-0.012276640841·t)
ln(5/22) = -0.012276640841·t
t = - ln(5/22) / 0.012276640841 = 120.684848 minutos
Y eso es todo.
