Integral de x al cuadrado sobre x al cuadrado mas 1

Imagino que quieres decir

$$\Int \frac{x^2}{x^2+1}dx$$

Lo primero hay descomponerlo en la suma del cociente más el resto entre el divisor, ya que toda la teoria para resolver estas integrales se basa en que el grado del numerador es menor que el del denominador. Lo que hay que hacer es la división entera de polinomios, similar a la de números naturales

 x^2      | x^2 + 1
-x^2 -1 ---------
-------- 1
      -1

Luego el cociente es 1 y el resto -1

De la fórmula dividendo = divisor x cociente + resto

D = dc +r

llegamos a

D/d = c + r/d

es decir

$$\begin{align}&\int \frac {x^2}{x^2+1}dx= \int\left(1 -\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\\ &\\ &\\ &x - arctgx+C\end{align}$$

Y eso es todo, era de las más sencillas de este tipo.