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4.11)
Si n>= 3 tendremos un 2-ciclo y un 3-ciclo al menos, en concreto estos dos están en todo Sn con n>=3
(1,2)(1,2,3) = (1,3)
(1,2,3)(1,2) = (2,3)
Como podemos ver,no conmutan y el grupo no es abeliano
4.12)
Sea p una permutación distinta de la identidad de Sn con n>=3
Si p es un 2-ciclo
p=(a,b) tomamos el 3.ciclo (a,b,c) con c distinto de a y b
(a,b)(a,b,c) = (a,c)
(a,b,c)(a,b) = (b,c)
Luego los 2-ciclos no conmutan con todos los elementos del grupo.
Si p no es un 2 ciclo
Busquemos un elemento b que es llevado a un lugar c y c es llevado a d con d distinto de b
Si existe el b que cumple eso:
p·(b,c) lleva b a b
(b,c)·p lleva b a d
Como b distinto de d no conmutan
Si no existe ningún b que cumple eso, tomemos un elemento b cualquiera que se mueva de lugar, como p no es la identidad al menos mueve de lugar un elemento b
p lleva b a c y lleva c a b ya que si no estaríamos en el caso anterior que ya estaba resuelto.
Tomamos el 3-ciclo (b, c, d) con d distinto de b y c, y cumpliéndose que d no es cambiado de lugar por p. Si no existe un d cumpliendo eso ya veremos después lo que hacemos.
p·(c,b,d) lleva b a b
(c,b,d)·p lleva b a d
Como b distinto de d significa que no conmutan y no es abeliano.
Finalmente, si no existía el d que fuera fijo por p, significa que p es una permutación formada toda por 2-ciclos disjuntos que cubren todos los elementos
p=(b,c)(d,e)(f,g)··· y sin dejarse ningún elemento.
Tomemos la permutación (b,c,d)
p·(b,c,d) lleva b a d
(b,c,d)·p lleva b a b
Luego no conmutan.
Y eso es todo, es un poco líoso pero están contemplados todos los casos que pueden darse y cualquier permutación que no sea la identidad tiene al menos otra con la que no conmuta.
