Probar que para todo n natural y por inducción matematica

La demostración por inducción consiste en:

i) Probarlo para n=1

i) Demostrar que si se cumple para n se cumple para n+1

i) 3^(2·1+1) + 2^(1+2) = 3^3+2^3 = 27+8 = 35 = 7·5 luego es múltiplo de 7

ii)

La expresión para n+1 es

3^[2(n+1)+1] + 2^(n+1+2) =

3[2n+2+1] + 2^(n+1+2) =

sacamos fuera algo

= 3^2 · 3(2n+1) + 2 · 2^(2n+1) =

9 · 3(2n+1) + 2 · 2^(2n+1) =

7 · 3(2n+1) + 2 · 3(2n+1) + 2 · 2^(2n+1)

Para comprobar si eso es múltiplo de 7 podemos quitar el primer sumando, ya que es un múltiplo de 7

2 · 3(2n+1) + 2 · 2^(2n+1) = 2[ 3(2n+1) + 2^(2n+1)]

Y lo que tenemos dentro del corchete es la expresión para n que es múltiplo de 7 por hipótesis de inducción.

Luego la expresión para n+1 es divisible por 7 y con esto queda terminada la demostración.

Y eso es todo.