Ayuda ejercicio 17 pagina 167

La derivada direccional se calcula como el producto escalar del gradiente por el vector de dirección. Si la derivada direccional es cero será por que el gradiente es normal al vector de dirección.

Vamos a calcular el gradiente

f(x,y) = (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

$$\begin{align}&\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x(x^2+y^2)-2x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-2y(x^2+y^2)-2y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{-4x^2y}{(x^2+y^2)^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\nabla f=\left( \frac{4xy^2}{(x^2+y^2)^2},\frac{-4x^2y}{(x^2+y^2)^2} \right)\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\nabla f(1,1)=( 1,-1)\\ &\end{align}$$

Y dos son los vectores normales a este.

(1,1) y (-1,-1)

Esas son las dos direcciones aunque son opuestas y están sobre la misma recta.

Y eso es todo.