Ayuda con el siguiente ejercicio:
Determine en la siguiente función si existen puntos máximos y mínimos, y cuales serian los puntos correspondientes, utilizando el intervalo
$$-3\leq X \leq 3$$
$$F(X)= \frac{4x}{x^2+4}$$
1 respuesta
Primero comprobamos que es una función continua ya que es un cociente de polinomios y el denominador no vale nunca cero en el intervalo que nos dan
x^2+4 > 0 para todo x € R luego
x^2+4 >0 para todo x € [-3, 3]
Una función derivable en el interior en un intervalo cerrado tiene los máximos y mínimos absolutos en los máximos y mínimos relativos o en los extremos del intervalo.
Vamos a calcular la derivada e igualar a cero
$$\begin{align}&f´(x)=\frac{4(x^2+4)-4x·2x}{(x^2+4)^2}=\\ &\\ &\frac{4x^2+16-8x^2}{(x^2+4)^2}=\frac{-4x^2+16}{(x^2+4)^2}=0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$La función es derivable en todos los puntos porque el denominador es siempre distinto de cero.
Y por ser distinto de cero podemos simplificarlo y queda
-4x^2+16 = 0
4x^2 = 16
x^2 = 4
x =2 y -2
Luego los puntos a estudiar son -3, -2, 2 y 3
f(-3) = -12/(9+4) = -12/13 = -0.92...
f(-2) = -8/(4+4) = -1
f(2) = 8/(4+4) = 1
f(3) = 12/13 = 0.92...
Luego el mínimo absoluto está en x=-2 y vale -1 y el máximo absoluto en x= 2 y vale 1.
Y eso es todo.
