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a) Hallamos las raíces y luego la tabla de signos.
x^4 - x^3 - 4x^2 +4x = x (x^3 - x^2 - 4x +4) =
Nos lo han puesto fácil de nuevo, x=1 es raíz
1 -1 -4 4
1 1 0 -4
-------------------
1 0 -4 0= x(x-1)(x^2 -4) =
y
(x^2 - 4) = (x+2)(x-2)
Luego la descompisción en factores es
x(x-1)(x+2)(x-2)
Y las raices son -2, 0, 1, 2
Veamos que signo tiene la función en cada intervalo
Antes de -2 es positiva porque es un polinio de grado par y en -infinito va a ser positivo.
Entre -2 y 0 es negativa
Entre 0 y 1 positiva
Entre 1 y 2 negativa
Entre 2 e infinito es positiva.
Yo lo hago por el criterio de que en una raíz cambia el signo si la raíz es simple y no cambia si es doble. Como todas las raíces son simples siempre cambia en este ejercicio. Ayer teníamos un ejemplo donde no cambiaba en una raiz porque era doble.
Si te han enseñado de otro modo haz las comprobaciones con un número en cada intervalo.
f(-3) = 60
f(-1) = -6
f(0.5) = 0.94
f(1.5) = -1.31
f(3) = 30
Bueno, la inecuación nos decia que la función fuera menor que cero, luego la respuesta son los intervalos de signo negativo que son:
(-2, 0) U (1, 2)
También puede espresarse en lenguaje de desigualdes
-2 < x < 0
o
1 < x < 2
b) Es confuso el enunciado:
x - 3 + 3^x-3 = 0
No sé si quieres decir
$$\begin{align}&x-3+3^{x-3}\\ &\\ &\\ &o\\ &\\ &\\ &x-3+3^x-3\end{align}$$Aparte no es una inecuación sino una ecuación, porque lo que hay es una igualdad. Y te pediria que te asegures que está bien el enunciado, asegúrate de que no sea otro polinomio normal y corriente, porque una inecuación con función exponencial me parece algo muy fuerte.
