Resuelve el problema utilizando la aplicación de la derivada

Los puntos de la función tendrán la forma

(x, x^2-3x)

y su distancia al punto (5,-5) es

sqrt[(x-5)^2 + (x^2-3x+5)^2]

Un truco que podemos usar cando calculamos máximos o mínimos de una raíz cuadrada es que los máximos-mínimos de la raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos-mínimos de la función sin la raíz. Luego suprimimos esa raíz para hacer este cálculo

f(x) = (x-5)^2 +(x^2-3x+5)^2

derivamos e igualamos a cero

f '(x) = 2(x-5) + 2(x^2-3x+5)(2x-3) = 0

2x - 10 + 4x^3 - 6x^2 - 12x^2 + 18x + 20x - 30 = 0

4x^3 -18x^2 + 40x - 40 = 0

2x^3 - 9x^2 + 20x - 20 = 0

¡Vaya ecuación!

Supondremos que tiene solución entera. Entonces será divisor de 20/2 = 10 y podrá ser

{1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10}

para x=1

2 - 9 + 20 - 20 = -7

para x=-1

-2 - 9 - 20 - 20 = -51

para x=2

16 - 36 + 40 - 20 = 0

luego x= 2 es una solución, veamos si hay otras dividiendo por Ruffini

     2   -9   20  -20
2         4  -10   20
     ----------------
     2 -5 10 | 0

2x^2 - 5x + 10 parece que tendrá raíces reales, el discriminante es

25 - 80 = -55 negativo, luego no hay raíces

Solo x=2 puede ser el mínimo

La derivada segunda es

f ''(x) = 12x^2 - 36x + 40

f ''(2) = 48 - 72 + 40 = 16 positiva, luego es un mínimo.

Las coordenadas del punto más cercano son

(2, 2^2-3·2)

Po = (2, -2)

Y eso es todo.