Geometría. Quisiera saber como encarar lo siguiente

Colocaremos el triángulo con el punto A arriba y el lado BC sobre el eje X. B será el punto (0,0) y C a la derecha. Tomaremos el lado BC como unidad del sistema, como BC es racional todas las longitudes iniciales se dividirán por BC y las que eran racionales seguirán siendo racionales.

Asi que en nuestro nuevo sistema cartesiano tenemos

A=(x,y)

B=(0,0)

C=(1,0)

Donde x es el segmento BD e y es el segmento AD que nos piden demostrar que son racionales

Sabemos que los segmentos AB y AC son racionales por que lo eran según el enunciado y al dividirlos por BC lo siguen siendo.

Podemos expresarlos como un número racional con numerador y denominador naturales y primos entre si (aunque esto último creo que no es necesario)

AB = p/q

AC = r/s

$$\begin{align}&AB = \sqrt{x^2+y^2}= \frac pq\\ &\\ &x^2+y^2 = \frac{p^2}{q^2}\\ &\\ &AC = \sqrt{(x-1)^2+y^2}=\frac rs\\ &\\ &x^2-2x+1+y^2 = \frac{r^2}{s^2}\\ &\\ &\text{Sustituyendo } x^2+y^2 \text{de la primera}\\ &\\ &\frac{p^2}{q^2}-2x +1 =\frac{r^2}{s^2}\\ &\\ &\\ &x=\frac{\frac{p^2}{q^2}-\frac{r^2}{s^2}+1}{2}=\frac{p^2s^2-r^2q^2+q^2s^2}{2q^2s^2}\\ &\\ &\end{align}$$

Luego x es un número racional por ser operación sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números naturales.

Asi que ya tenemos que x = BD / BC es racional, luego BD = x·BC es racional.

Ahora tengo que dejar el ordenador, cuando vuelva intentaré demostrar lo que falta.

Habíamos demostrado que BB es racional. Y ya vale, no se puede demostrar más, AD no tiene porque ser racional, lo vamos a ver con un contraejemplo.

Tomamos un triángulo equilátero de lado 1, es acutángulo y los tres lados son racionales.

El segmento BD mide 1/2 que es racional, pero el segmento AD (que se puede calcular por el sen 30º o por Pitágoras) es (raíz de 3)/2 que es un número irracional.

Luego lo que nos piden es falso, solo se puede garantizar que sea racional el segmento BD.

Y eso es todo.