¿Cómo resolver integrales?

Disculpa la tardanza. He estado varios días fuera.

Te explico como yo haría la segunda integral. La primera se hace por partes y no sé si en tu enunciado falta un paréntesis o no. La regla nemotécnica que uso para acordarme de la integral por partes es "Susana divisó un valiente Soldado vestido de uniforme" por si te sirve.

Vamos con la segunda de momento.

Si hacemos el cambio de variable t=x+1 nos sale que x=t-1 y la integral sería:

$$\int \frac{2(t-1)}{t^2} dt$$

ya que dx=dt

Dividiendo la integral en cada uno de sus términos

$$\begin{align}&\int [\frac{2t}{t^2}-\frac{2}{t^2}] dt= \int \frac{2}{t}dt - \int \frac{2}{t^2}dt\\ &\end{align}$$

Y ahora tenemos dos integrales que conocemos. Una es el Logaritmo y otra un polinomio. Recuerda que

$$\frac{1}{n^m } = n^{-m}$$

Tenemos por tanto, la siguiente solución:

$$= 2 Ln|t| + \frac{2}{t} + c$$

Ahora deshacemos el cambio y nos sale:

$$= 2 Ln|x+1| + \frac{2}{x+1} + c$$

Compruébalo por ti misma no obstante no sea tenga alguna errata.

Hola Experto!!

Siento decirle que cómo realmente me urgía la resolución del problema porque tenía un examen, ya ha habido otro experto que me ha ayudado a resolverla. No obstante, le agradezco su buena predisposición y me gustaría si no le importa, que me explicara la regla nemotécnica de la integral por partes que menciona al principio, la cuál podría serme de gran utilidad para futuros ejercicios:

"Susana divisó un valiente Soldado vestido deuniforme"

¿Qué es lo que quiere decir?

Gracias y Un Saludo