Me piden que demuestre un lema para después ser utilizado para la demostración de un teorema

LEMA:

Sea n=2

x² = y²

xx = yy

x/y = y/x

|x/y| = |y/x|

|x| / |y| = |y| / |x|

si |x| > |y| entonces

|x| / |y| >1

|y| / |x| < 1

y si |x| < |y| entonces

|x| / |y| >1
|y| / |x| < 1

para que se de la igualdad |x| / |y| = |y| / |x| debe ser

|x| = |y|

luego

x=y o x=-y

Sea ahora n par mayor que 2

n = 2m + 2 con m>=1

x^(2m+2) = y^(2m+2)

x²·x^(2m) = y²·y^(2m)

x² / y² = y^(2m) / x^(2m)

(x/y)² = (y/x)^(2m)

|(x/y)²| = |(y/x)^(2m)|

|x/y|² = |y/x|^(2m)

(|x|/|y|)² = (|y|/|x|)^(2m)

si |x| > |y| la parte izquierda será mayor que 1 y la derecha menor

si |x| < |y| la parte izquierda será menos que 1 y la izquierda mayor

Luego debe ser |x|=|y|

y por tanto x= y o x=-y

TEOREMA:

Si n es par ya se demuestra por el lema.

Si n es 1 tenemos x=y

Si n=2m+1 con m>1

Se demuestra igual que los de arriba

x^(2m+1) = y^(2m+1)

x · x^(2m) = y · y^(2m)

x/y = y^(2m)/x^(2m)

x/y = (y/x)^(2m)

|x/y| = |(y/x)^(2m)|

|x/y| = |y/x|^(2m)

|si |x| > |y| la parte izquierda será mayor que 1 y la derecha menor
si |x| < |y| la parte izquierda será menos que 1 y la izquierda mayor
Luego debe ser |x|=|y|
y por tanto x= y o x=-y

COROLARIO:

Por el teorema tendremos

x=y o x=-y

pero si x=-y tendremos

x^n =(-x)^n = - (x^n)

eso solo es posible si x=0 en cualquier otro caso hemos llegado a un absurdo, luego no puede ser x=-y y debe ser x=y

Y eso es todo.