Necesito de tu ayuda, tengo parcial el viernes de probabilidad! Contestame los problemas favor

Las fórmulas de la distribución exponencial no hago mas que sacarlas de la Wikipedia. Supongo que tu las tendrás en el libro.

Distribución exponencial

Si necesitaras que te demostrara como se calcula la fórmula de la función de distribución me lo dices.

La que nos interesa para los datos que nos han dado es la función de distribución

$$F(x) = P(X\le x) = 1 -e^{-\lambda x} \;para\; x \ge 0$$

Para tener la fórmula operable debemos conocer el valor de lambda, eso se calcula mediante el dato que nos dan.

Nos dicen que el 60,65% dura al menos 250 hrs. Como las funciones de distribución dan la probabilidad de durar menos de transformamos el enunciado y decimos

La probabilidad de durar menos de 250 horas es 1 - 0.6065 = 0.3935

Luego 0.3935 es el valor de la función de distribución en 250.

Lo que pasa es que antes no hice esa resta porque no era necesaria es mejor dejarlo como 1-0.6065

$$\begin{align}&1-0.6065 = F(250)=1-e^{-250\lambda}\\ &\\ &0.6065 = e^{-250\lambda}\\ &\\ &ln\; 0.6065 = -250 \lambda\\ &\\ &\lambda = \frac{ln\;0.6065}{-250}=\frac{-0.5}{-250}=0.002\end{align}$$

Y con esto ya sabemos el parámetro lambda de la distribución y podemos calcular cualquier probabilidad.

Nos piden ahora la probabilidad condicionada de durar 500 siendo que se duro 400. Hay que usar la fórmula de la probabilidad condicionada

P(durar 500 | duro 400) = P(durar 500 y 400) / P(durar 400) =

Durar 500 y 400 es durar 500

= P(durar 500 o más) / P(durar 400 o más) =

P(durar 500 o más) = 1 - F(500) =

1 - [1 - e^(-0.002 · 500)] = e^(-1) = 0.3678794412

P(durar 400 o mas) = 1 - F(400) = e^(-0.002 · 400) = e^(-0.8) = 0.4493289641

Luego aquella igualdad que dejamos pendiente es

= 0.3678794412 / 0.4493289641 = 0.8187307531

Y esa es la probabilidad que nos piden 0.8187307531

Y eso es todo.