Demostrar la siguiente forma del principio de inducción

Supongo que lo quieres es demostrar que esta forma es equivalente al principio de inducción.

Primero demuestro que si se cumple el clásico se cumple este

Sea P una proposición que cumple el principio de inducción clásico

1)P(1) verdadera

2)P(n) verdadera==>P(n+1) verdadera

Respecto al principio de inducción de aquí se cumple

1) P(1) verdadera

2) Si P(k) verdadero para todo k<n+1 ==> P(n+1) verdadera

Ya que como n<n+1 se cumple P(n) verdadera y eso implica P(n+1) verdadera

Y ahora demuestro que si se cumple este se cumple el clásico

Sea P una proposición que cumple este principio de inducción de aquí
1) P(1) verdadera
2) P(k) verdadera para todo k<m ==> P(m) verdadera

Respecto al principio de inducción clásico se cumple

1) P(1) verdadera

2) Sea n tal P(n) verdadera

Vamos a demostrar que P(k) es verdadera para 1 <= k <= n

Supongamos existe k tal que P(k) es falsa, existirá un k que será el menor de todos que sea falsa y además k>1 porque P(1) verdadera

entonces P es verdadera para 1, 2, ..., k-1

Pero entonces por cumplir el principio de inducción de aquí se cumple P(k) verdadera. Eso es absurdo porque P(k) era falsa. Luego no existe k tal que p(k) sea falsa.

Asi que p(k) es verdadera 1 <= k <= n luego P(n+1) es verdadera

Con lo cual se cumple el principio de inducción clásico.

Y eso es todo.