Funciones de variable compleja

Seanlos números

z1 = a1 + i·b1

z2 = a2 + i·b2

z3 = a3 + i·b3

por las condiciones de módulo 1 podemos ponerlos

z1 = a1 + i·sqrt(1-a1^2)

z2 = a2 + i·sqrt(1-a2^2)

z3 = a3 + i·sqrt(1-a3^2)

Y la condicion z1+z2+z3=0 quiere decir que la parte real e imaginaria de la suma es 0, luego el punto z3 podemos ponerlo como

z3 = -(a1+a2) - i·[sqrt(1-a1^2)+sqrt(1-a2^2)]

Ademas debe cumplirse que este punto z3 tenga módulo 1

a1^2+a2^2 + 2a1·a2 + 1-a1^2+1-a2^2 + 2 sqrt[(1-a1^2)(1-a2^2)] = 1

2 + 2a1·a2 + 2sqrt [(1-a1^2)(1-a2^2)] = 1

2a1·a2 + 2sqrt [(1-a1^2)(1-a2^2)] = -1

esta igualdad la usaremos después

Veamos cual es la distancia z1,z2, usaré el editor que parece que se ha arreglado.

$$\begin{align}&d(z_1,z_2)=\sqrt{(a_1-a_2)^2+\left(\sqrt{1-a_1^2}-\sqrt{1-a_2^2}\right)^2}=\\ &\\ &\sqrt{a_1^2+a_2^2-2a_1a_2+1-a_1^2+1-a_2^2-2 \sqrt{(1-a_1^2)(1-a_2^2)}}=\\ &\\ &\sqrt{2-2a_1a_2-2 \sqrt{(1-a_1^2)(1-a_2^2)}}=\\ &\\ &\text{Usando la igualdad anterior}\\ &\\ &=\sqrt{2-(-1)}=\sqrt 3\end{align}$$

Y la distancia z1,z3 será

$$\begin{align}&\sqrt{(a_1+a_1+a_2)^2+\left(\sqrt{1-a_1^2}+\sqrt{1-a_1^2}+\sqrt{1-a_2^2}  \right)^2}=\\ &\\ &\sqrt{(2a_1+a_2)^2+\left(2 \sqrt{1-a_1^2}+\sqrt{1-a_2^2}  \right)^2}=\\ &\\ &\sqrt{4a_1^2+a_2^2+4a_1a_2+4-4a_1^2+1-a_2^2+4 \sqrt{(1-a_1^2)(1-a_2^2)}}=\\ &\\ &\sqrt{5+4a_1a_2+4 \sqrt{(1-a_1^2)(1-a_2^2)}}=\\ &\\ &\text{usando esa igualdad que decía}\\ &\\ &=\sqrt{5-2}= \sqrt 3\end{align}$$

Y la distancia z2,z3 se calcula de forma análoga y también da sqrt(3)

Luego el triángulo es equilátero.

Y eso es todo.