¿Cómo se hace este ejercicio?

El resto de dividir un polinomio P(x) entre (x-r) no es otra cosa que el valor del polinomio en r, es decir, P(r).

Luego el resto de dividir P(x) entre (x+3) es P(-3)

P(-3) = 2(-3)^3 + 2K(-3)^2 -3(-3) + 5 = -54+18K+9+5 = 18K-40

Luego

18K-40 = 10

18K = 50

K = 50/18 = 25/9

Es una pena que no vaya a a salir un polinomio con coeficientes enteros, pero esa es la respuesta. Podemos comprobarlo por Ruffini

      2  50/9   -3    5
-3       -6     4/3   5
     -----------------
      2  -4/9  -5/3  10
[2x^2 -(4/9)x - 5/3](x+3) + 10 =
2x^3 - (4/9)x^2 - (5/3)x + 6x^2 - (4/3)x - 5 + 10 =
2x^3 + (50/9)x^2 -3x + 5

Pues eso que es la respuesta correcta

K = 25/9

Y eso es todo.