Evaluar las siguientes integrales
Evalúa las siguientes integrales
$$\int (coshx+secx)dx$$
Si, como siempre tenía razón, me había comido una x y sí es secante x
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Las funciones hiperbólicas chx y shx tienen la derivada muy fácil
ch'(x) = sh(x)
sh'(x) = ch(x)
Luego la integral de una es la otra y esa parte de la integral la damos por zanjada, vale shx o si te lo van a poner mal escribe sinhx o senhx, como le guste al profesor.
Lo que queda es
$$\begin{align}&\int secx dx=\int \frac{dx}{cosx}=\\ &\\ &t=tg \frac x2\quad cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\ &\\ &\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2dt}{1-t^2}=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}\right)dt=\\ &\\ &a(1-t)+b(1+t)=2\\ &a+b=2\\ &-a+b=0\\ &2b=2\\ &b=1\\ &a=1\\ &\\ &=\int \frac{dt}{1+t}+\int \frac{dt}{1-t}=\\ &\\ &ln|1+t|-ln|1-t|+C =\\ &\\ &ln\left|1+tg \frac x2\right|- ln\left|1-tg \frac x2\right|+C\end{align}$$Puede que según el cambio te aparezca algo muy distinto a primera vista, pero será lo mismo que esto salvo una constante si acaso.
Y eso es todo.
Espera se me olvidada la integral del coseno hiperbólico
$$shx +ln\left|1+tg \frac x2\right|- ln\left|1-tg \frac x2\right|+C$$
