Ecuaciones logarítmicas para resolver

a)

$$\begin{align}&\frac{2log_2(x-3)}{3}=1\\ &\\ &2log_2(x-3) = 3\\ &\\ &log_2[(x-3)^2] = 3\\ &\\ &(x-3)^2 = 2^3 =8\\ &\\ &x^2-6x+9 = 8\\ &\\ &x^2-6x +1= 0\\ &\\ &x=\frac{6\pm \sqrt{36-4}}{2}= \frac{6\pm \sqrt{32}}{2}=\\ &\\ &\frac{6\pm 4 \sqrt{2}}{2}= 3 \pm 2 \sqrt 2\end{align}$$

De las dos respuestas solo sirve la que tiene signo +, ya que si tomas la otra tendrás

$$log_2(3- 2 \sqrt 2 -3) = log_2(-2 \sqrt 2)$$

Y no hay logaritmos de los números negativos, luego la solución es

$$x=3+ 2 \sqrt 2$$

b)

log(x^2+1) = 1

Se supone logaritmo en base 10. Aplicamos la operación 10 elevado a en cada miembro.

Esta operación es la inversa del logaritmo en base 10, luego queda el argumento del logaritmo

x^2 + 1 = 10^1 = 10

x^2 = 9

x = +- 3

Y eso es todo.