¿Cómo se resuelve este ejercicio?

Pues si nos dan ya la derivada tanto más fácil, no hay ni que calcularla.

Hay que hallar los ceros o raíces de la derivada

(x-1)^2·(x-2) = 0

Incluso sabemos cuáles son porque nos la han dado factorizada. Los puntos candidatos son

x=1

x=2

Tal vez sea un razonamiento de nivel superior el que emplee ahora al principio. Un punto donde la raíz es simple la función cruza el eje X, donde es doble (o cuarta, sexta, etc) rebota en el eje X. Entonces donde la derivada cruza el eje la función es monótona (creciente o decreciente, luego la pendiente crece o decrece y hay mínimo o máximo. Donde la derivada crece antes y después decrece o viceversa es un punto de inflexión, luego x=1 sería punto de inflexión y x=2 extremo relativo.

Vamos a hacerlo de la forma que creo te habrán enseñado.

Si la derivada segunda es positiva es un mínimo, si es negativa un máximo, si es cero no se sabe de momento.

Si la derivada segunda era cero se deriva hasta obtener una derivada distinta de cero. Si esta deriva es par y positiva es mínimo, si es par y negativa es máximo y si es impar es punto de inflexión

Calculamos la derivada segunda

f''(x) = 2(x-1)(x-2) +(x-1)^2

f"(1) =2·0·(-1)+0^2 = 0+0=0

f"(2) = 2·1·0 + 1^2 = 1

Luego 2 es un mínimo y 1 no lo sabemos. Derivamos de nuevo para probar con x=1

f'''(x) = 2[(x-2)+(x-1)] + 2(x-1)

f'''(1) = 2(1-2+1-1) + 2·0 = -2

Como la primera derivada no nula es impar es un punto de silla.

Luego en resumen, solo hay un extremo local que es x=2 que es un mínimo.

Y eso es todo.