Álgebra grado de polinomios)

Sea el polinomio así:

P(x) = ax^2 + bx + c

P(x) - P(x-1) = ax^2 + bx + c - [a(x-1)^2 + b(x-1) + c] = -2x

ax^2 + bx + c - [a(x^2-2x+1) + bx - b +c] = -2x

ax^2 + bx + c - ax^2 + 2ax - a - bx + b - c = -2x

se simplifican ax^2, bx y c con lo que queda

2ax - a + b = -2x

Y para cumplirse esta igualdad de polinomios deben darse dos cosas

2a = -2

-a+b = 0

De la primera se deduce a=-1

Y vamos a la segunda

-(-1) + b = 0

1+b = 0

b=-1

Respecto a la c no nos dicen luego puede tomar cualquier valor

P(x) = ax^2+bx+c = -x^2 - x + c

Y para calcular c nos dicen que P(0) = 0, entonces

-0^2 - 0 + c = 0

c= 0

Luego la respuesta es

P(x) = -x^2 - x

Vamos a comprobarla por si tuvimos algún fallo

P(x) - P(x-1) = -x^2 - x - [-(x-1)^2 - (x-1)] =

-x^2 - x - [ -(x^2-2x+1) - x +1] =

-x^2 - x + x^2 -2x +1 + x - 1 = -2x

Luego está bien y P(0)=0 a primera vista.

Y eso es todo.