1 Respuesta
9.6)
a) Si, será isomorfo a Zp porque no tiene otra de escomposición posible, y Zp es cíclico.
Me estoy riendo, pero es por un chiste, ZP era el presidente del gobierno de aquí hasta hace poco, Dios quiera que no sea cíclico.
b) Falso. Puede ser isomorfo a un producto directo que no será un grupo cíclico. En concreto, si tiene orden p^n puede ser isomorfo a
Zp x Zp x ···x Zp (n veces) y este grupo no es cíclico
c) Falso, 4 y 6 generan {0, 2, 4, 6}
d) Verdadero. Con el 5 por sí solo basta para generar todos por ser primo con 8
{5, 5^2, 5^3, 5^4, 5^5, 5^6, 5^7, 5^8} = {5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0)
Nótese que aunque se emplee la notación a^n, en realidad quiere decir
a+a+a+ ..+a (n veces)
e) Verdadero. Reduce todos los grupos abelianos finitos a productos directos de grupos Zn con n primo o potencia de primo; o a productos directos Zmi donde cada m sub i divide a m sub (i+1)
g) Verdadero. Lo dice el teorema 9.5
h) Verdadero por lo mismo.
i) Verdadero por lo mismo.
j) Verdadero, si tuviera numero de Betti distinto de cero tendría un producto directo de Z en su descomposición y tendría infinitos elementos, lo cual es absurdo ya que es finito.
Y eso es todo.
