Geometría de un cuadrado

Estimado:

Tengo un problema matemático de geometría en el cual ojalá me pudiese ayudar. Cualquier aporte será de muchísima ayuda.

El ejercicio dice asi:

Sean ABCD un cuadrado y P, Q puntos distintos en su interior, tales que
AP = BP = PQ = CQ = DQ = 10.
Encuentre la longitud del lado del cuadrado.

Atentamente Franunez

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1

P equidista de A y B, luego está en la mediatriz del lado AB

Q equidista de C y D, luego está en la mediatriz del lado CD

Pero estos son lados opuestos, paralelos y por tanto la mediatriz es la misma.

Pensaba que se podrá explicar sin hacer dibujo, mejor vamos a hacerlo y se verá todo claro.

Sea a la longitud del lado. Tenemos un triángulo rectángulo con el cateto base que mide a/2 y el cateto altura mide (a-10)/2, la hipotenusa mide 10.

Aplicamos el teorema de Pitágoras

(a/2)^2 + [(a-10)/2]^2 = 10^2

(a^2)/4 + (a^2+100-20a)/4 = 100

a^2 + a^2 + 100 - 20a = 400

2a^2 - 20a - 300 = 0

a^2 - 10a - 150 = 0

Ecuación de segundo grado, la resolvemos

a = [10 +- sqrt(100+4·150)] / 2

a = [10 +- sqrt(700)] / 2

a = 5 +- 10sqrt(7)/2

a = 5 +- 5sqrt(7)

Una de las dos es negativa, la desechamos

a = 5[1 + sqrt(7)] = 5(1+2,645751311) = 18,22875656

Ese es el lado del cuadrado.

Y eso es todo.

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